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togetterまとめのまとめ

だいぶ前に編集したtogetterまとめのURLを置いておきます。
殆どメモ同然なので、読みにくかったり所々間違ってたりするかもしれませんが、ご容赦願います。

神谷パターンの用途まとめ

神谷パターンの用途について2014年7月頃にまとめたものです。今見ると相当不十分な内容だと思うのですが、とりあえず載せておきます。
この頃と今とでは私自身の観点が変わっているので、不十分に感じるのだと思います。


基本多角形(骨格)による折り紙設計(仮)

折り紙骨格論について2015年2月頃にまとめたものです。今後より洗練した形で発表していくつもりです。

それでは今回はこの辺りで。失礼します。

整数比角度系の定義について

整数比角度系の定義について質問を頂くことが多いのですが、そのことについて記したいと思います。

なお、設計方法について解説する記事ではありません。しかも読むのに結構努力を要する内容・書き方だと思うので(ごめんなさい)、「なぜ整数比角度系はこんな定義なんだ?」という疑問を抱いているわけではない方には、読むのをあまりお勧めしません。ご注意ください。

まず、整数比角度系の定義から。

「用紙を何等分かしたグリッドに展開図上の折り線が乗っていて,展開図上の折り線の傾きが0,1,2,3,3/4,7」であることを「その展開図は整数比角度系である」と呼びます。

折り線の傾きも定義しろよ、と言われちゃいそうですが、そこはまたの機会に(笑)
折り線の傾きの定義も中々めんどくさいんです。

整数比角度系とよく似たものに、目黒さんにより定義された格子点系というものがあります。「用紙を何等分かしたグリッドに展開図上の折り線が乗っていて,展開図上の折り線の傾きが有理数」であることを「その展開図は格子点系である」と呼ぶ、という定義だと私は考えています。
集合の包含関係で言えば、「整数比角度系⊂格子点系」となると思います。

整数比角度系は3辺の比が3,4,5以外のピタゴラス三角形(5:12:13など)には対応していませんが、格子点系は対応しています。ここが異なる点です。

何故私が整数比角度系に対してこのような定義を採用したのか説明します。(尤も、私が整数比角度系という言葉を定義した当時は目黒さんの掲示板ログを読んだことがなかったので、格子点系はおろか横分子蛇腹法も知りませんでした)。

http://origami.gr.jp/~komatsu/etc/meguro-bbs-log/2007-02-18.html#2038 で目黒さんが「そんな部分群あるでしょうかね、、、?」と述べていますが、整数比角度系がほぼそれに当てはまります。
整数比角度系で使われる角度の集合は群にはなっていません(つまり、足し算について閉じていない。例えば、3arctan1/2 は整数比角度系の角度ではない)。ですが、折り紙としての都合上はとても良い性質を持っています。良い性質とは、予定調和性と、横分子を幅広く実現できる性質です。
目黒さんは、「角度系において折っていてぴたっと折線が重なること」を予定調和性と呼んでいるようです。感覚的な定義ではありますが、説明のためにこの予定調和性を用いたいと思います。
整数比角度系が予定調和性を持つことの根拠として、次の2つを挙げておきます:
1.頂点が蛇腹のグリッドに乗っている。
これは格子点系での予定調和性の根拠でもあります。そのため、格子点系の特殊な場合である整数比角度系においてもこれが根拠になります。
格子点系(整数比角度系)では、各頂点が蛇腹のグリッドに乗るように展開図を描画することも出来ます(普通行われるのはこのような方法です)が、ここで言いたいのはそれだけではありません。蛇腹のグリッドに沿ってxy座標を入れた時に、傾きが有理数の折り線の交点の座標は有理数となります。つまり、傾きが有理数の折り線の交点は、蛇腹の等分数を何倍かすることで、蛇腹のグリッド上に乗せることができます(交点の座標の分母をはらうことが、等分数を何倍かすることに対応しています)。これにより、例えば次の図のような整合性が取れた展開図を描画できます。
rational angle
2.基本多角形(骨格)を構成する折り線に対する鏡映変換について、骨格以外を構成する折り線は骨格以外を構成する折り線に写る。
つまり、傾き2,3の折り線に対する鏡映変換で、傾き0,1,3/4,7(逆数の傾きは省略)の折り線は傾き0,1,3/4,7の折り線に写るということです。これは例えば、神谷パターンからも見て取れることです。
実はこの性質こそが、先で述べた「整数比角度系で使われる角度の集合は群になっていないが、予定調和性を持つ」ことの大きな根拠となっているのです。ここで言う群は角度の加法により定義されていましたが、加法の特殊な場合として鏡映変換を考えたのがこの性質となっています。実際、傾きaの折り線に対しての鏡映変換を傾きbの折り線に施すと、その写り先は傾きa+(a-b)=2a-bとなり、加法の形で書くことができます。
そして、折り紙の展開図を描画する上では、この性質だけである程度は十分なのです。例えば一値分子を構成する折り線は、分子の外枠の折り線が、内部の折り線に対する鏡映変換により、分子の外枠の折り線に写ります。折り紙設計においてとても便利な道具である一値分子についてこの性質が成り立つというのはとても嬉しいことです。
実は、ここで「一値分子の内部の折り線」を突き詰めて考えたものが骨格(基本多角形)という概念なのです。それ故、「骨格を構成する折り線に対する鏡映変換について、骨格以外を構成する折り線は骨格以外を構成する折り線に写る」と、「一値分子の内部の折り線に対する鏡映変換について、一値分子の外枠の折り線は外枠の折り線に写る」という事実はパラレルに対応しています。但し骨格という概念は、「一値分子の内部の折り線」と完全に対応しているわけではないのですが……(例えば、長方形の一値分子には長辺に平行な内部の折り線が出てきますが、それは骨格ではありません)。
予定調和性の次に、横分子を幅広く実現できる性質について説明します。
例えば、5:12:13の神谷パターンを使った構造を描いてみて、横分子に領域分けしてみて下さい。そうすると多くの場合は、3:4:5の神谷パターン(整数比角度系)でも同じ横分子図を持つ構造が書けます。
また、横分子の重複領域で、整数比角度系で等高線(私は「45度線の偶奇性」という概念で似たような議論をしたこともあります)が合わずに解消できない場合は、3:4:5以外のピタゴラス三角形の神谷パターンでも解消できません。
この2つの事実から、「大抵の場合、格子点系の展開図と同じ効率の横分子図を持つ整数比角度系の展開図を描ける」ということが分かります。これが「横分子を幅広く実現できる性質」と呼んだものです。この性質があるからこそ、折り線の種類が沢山あってややこしい格子点系ではなく、整数比角度系を安心して使うことが出来るのです。
とは言え、私自身まだこの性質については分かっていないことが多く、ここでもきちんと説明することはできません。実際、上での説明は具体例や感覚的な説明が主になってしまっていますね……。
以上、予定調和性と、横分子を幅広く実現できる性質を整数比角度系は持っているため、私はわざわざこれに名前を付けて定義したのでした。

説明が長くなってしまった上に分かりづらい内容になってしまったかもしれません。数学の予備知識を前提とする記述もあったかもしれません。それについては申し訳ありません。
定義をするにあたっての私の意図が伝われば幸いです。それでは。

折りサーネットの時のプレゼン

折りサーネットの時のプレゼンのデータを公開します。
頑張って噛み砕いたつもりです。折りサーネットには参加していない方も、よろしければどうぞ。
https://onedrive.live.com/view.aspx?resid=A716B556622E4296!5772&app=WordPdf

整数比角度系展開図の例

こんにちは。
今回は、これまでにちまちま書き溜めた整数比角度系の展開図をちこちこ紹介したいと思います。

まずは、これ。

駅のホームにある椅子 展開図

整数比角度系を考えるきっかけになった、整数比角度系での一値分子を考えた後に、応用として作成したものです。
当初は動物を折りたいと思ったのですが、展開図を書き終えていざ折り畳んでみると、椅子に見えてきたので「椅子」ということにしました。
折り上がりの写真はこんな感じ。

WIN_20140409_215420.jpg

トレーシングペーパーで折りました。割合きれいな折り上がりになっている気もしますが、実は成型のほとんどをボンドに頼っていて、納得のいかない作品になっています。

次に紹介したいのは、22.5度系での一値分子との、整数比角度系での類似です。下図は、切り出しナイフ型分子を一部に使った構造です。

切り出しナイフ型分子

22.5度系だと蛇腹のヒダの幅の比率が1:√2になっていて使いにくくなっていますが、整数比角度系ではヒダの幅は整数比となっており、使いやすそうな構造になっています。

傾き7の神谷パターン

傾き7の神谷パターン2

これは、σさんによる傾き7の折り線を使った神谷パターンの類似構造を真似して描いたものです。
左側の構造では傾き7の折り線が使われていますが、右側では使われていません。ですが、左右の構造は同じ紙効率のものとなっています。

rational angle

kamiyakasane2.png

kamiyakasane.png

これらの展開図は、神谷パターンを重ね合わせた所から着想を得て描いたものです。
一部グリッドに乗っていない頂点があるなど面白い構造なのですが、実用性はあまりないかもしれません。強いて言えば変わった形のカドを折りだせることくらいかも。

for uto

これはTwitter上で、ゆーてぃーおーさんが行おうとしていたことを自分なりにやってみた時のものです。それぞれの構造のねらいはこんな感じです。

for uto’

「元の構造」というコメントは、これを描くときに参考にしたゆーてぃーおーさんが描いた展開図での構造のことです。

最後に、バイアス蛇腹で神谷パターンを試してみた時の展開図を紹介します。

お遊びバイアス蛇腹

一応動物をイメージしながら描きましたが、目的はこういう展開図の描画に慣れることです。こういうのを描くことを通して、「ユニコーン」が完成しました。

それでは今回はこの辺で。失礼いたします。

45度線の偶奇性は撃ち抜けない

「ユニコーン」の記事に載せた展開図の解説画像に、「45度線の解消」と書きました。今回はこのことについてまとめました。

下記URLは、45度線の解消と偶奇合わせについてのPDF文書へのリンクです。よろしければご覧ください。なお、2次配布して頂いても構いません。
ただ、One Driveでの公開とさせて頂きましたので、Windows7,8ユーザーでない方には不親切です、申し訳ありません。ですが、PDF文書をアップロードする方法が分からなかったのです。調べてみたところ、One Driveでの公開なら単純で俺にでも何とかできそうだったので、こうさせて頂きました。ご了承ください。

Cancellation and Pality of 45.pdf


PDF文書で発表するのは、この方が保存性が高いと考えたからです。それに、ファイルとして手元に残しておいた方が気持ちが良い気がしたので。
なお、ダウンロード出来ないけれどもデータが欲しい方がいらっしゃいましたら、連絡を頂ければメールなどの形で送付させて頂きますので、気軽にどうぞ。

なお、内容は以下の通りです。

・45度線の解消と偶奇性について
・神谷パターンなどを使った45度線の解消
・神谷パターンや神谷パターンの切断についての簡単な説明

ちなみにこの文書、休日を丸1日使って書きました。TeXとか障害は多かったけど、何とか書ききることができてよかったです。達成感が凄い。

それではこの辺りで。失礼いたします。

続きを読む»

プロフィール

レオンハルト

Author:レオンハルト
創作折り紙や折り紙設計理論をやります。
数学や小説なども好きです。
なお、当ブログはリンクフリーです。リンクして頂いた場合、お礼を申し上げたいので連絡を頂けるとありがたいです。

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