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ヘックスプリーツでの神谷パターン

蛇腹系にピタゴラス三角形の分子を加えた構造である神谷パターンは、蛇腹創作の可能性を大幅に広げました。

一方、蛇腹系の類似としてヘックスプリーツというものがあります。これは、蛇腹系が正方形を敷き詰めたグリッドを基準とするのに対し、正三角形を敷き詰めたグリッドを基準とする構造です。

私はあまりヘックスプリーツをいじったことはないのですが、ないなりに主観をここで一応述べておきます。
ヘックスプリーツの特徴は、何といっても紙使用効率の良さでしょう。同じ大きさの円を平面上に敷き詰めるとき、最も密になるのは円が正三角形上の格子をなす時だからです。
ただ、ちょっと困ることがあります。それは、蛇腹系と違い、横分子・縦分子を考えるのがちょっと難しくなってしまうことがあることです。この辺りについては、現在調べているところですが、恐らくは基本となっている線が蛇腹系のように90度の線ではなく、120度の線であること、それにより骨格と横分子の対応があまりうまくないことが原因だと思われます。

さて、この記事の目的はヘックスプリーツにおける神谷パターンの類似構造の数学的裏付けの解説です。
ヘックスプリーツにおける神谷パターンの類似構造は、2014年8月ごろに発見し、Twitterで発表はしていたのですが、こちらの方で発表はしていませんでした。1年遅れ(!)になってしまいましたが、ここに書きたいと思います。

さて、ヘックスプリーツにおける神谷パターンの類似構造には、次のようなものがあります:

HP kamiya

神谷パターンから整数比角度系の構造を得るのと同じように、骨格を考えることで、次のような構造を色々考えることができます:

拡張ヘックスプリーツ

このような構造を考えられることの、数学的背景は何でしょうか?
蛇腹系の神谷パターンの場合は、ピタゴラス三角形がまさにそれでした。
ヘックスプリーツの神谷パターンの場合は、アイゼンシュタイン三角形が対応する概念になっています。

アイゼンシュタイン三角形とは、1つの角度が120度で、3辺の比が整数の三角形のことです。
これは、ピタゴラス三角形が、1つの角度が90度で、3辺の比が整数の三角形であることの類似です。

上に載せたヘックスプリーツの神谷パターンは、アイゼンシュタイン三角形を一値分子として畳んだものになっています。

では、なぜアイゼンシュタイン三角形がヘックスプリーツの神谷パターンになるのでしょうか?

この疑問に答える前に、蛇腹系の神谷パターンがピタゴラス三角形であることを考察しておきましょう。
ピタゴラス三角形のどの性質が折り紙の構造にマッチしているかというと、それは「内心が格子点にある」ということです。
折り紙で大事な性質に、「任意の三角形は内心の定理により一値分子として平坦折り可能である」というものがありました。
内心が格子点の上にあるために、ピタゴラス三角形を一値分子として折り畳んだ時に蛇腹との整合性が取れる、という訳なのです。

つまり、アイゼンシュタイン三角形がヘックスプリーツの神谷パターンになることの裏付けは、「アイゼンシュタイン三角形の内心がヘックスプリーツの格子点の上にあること」と考えられるわけです。
このことを示して、本稿を終わりにしたいと思います。

示す流れは次の通りです:
・アイゼンシュタイン三角形の3辺の比は、m,nを整数として、m^2-n^2, 2mn+n^2, m^2+mn+n^2とかける
・内心の座標はアイゼンシュタイン整数環(ヘックスプリーツの格子点)にある

1番目は、環論の知識を用いて証明したものを載せます。これは、この方がシンプルだと判断したためです。
次の2つの画像に証明を載せておきました。

s-スキャン_20150804
s-スキャン_20150804 (2)

それでは今回はこの辺りで。失礼します。

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レオンハルト

Author:レオンハルト
創作折り紙や折り紙設計理論をやります。
数学や小説なども好きです。
なお、当ブログはリンクフリーです。リンクして頂いた場合、お礼を申し上げたいので連絡を頂けるとありがたいです。

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