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パンジー

パンジー。2015/03創作、2015/07制作。
2015072017230000.jpg
パンジー 基本構造
一値性を崩した22.5度系構造がポイント。インサイドアウトも相まって完成形がごつい。カラペかなんかの薄い紙で折り直したい。
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スマトラオオヒラタ

スマトラオオヒラタ、2015/07創作・制作。
2015071620260000.jpg
横分子図。
スマトラオオヒラタ 展開図

展開図のポイントは、アゴの部分の22.5度系の構造。
完成形が汚いので、もっと綺麗に折りなおしたい。

グンタイアリ

グンタイアリ。2015/02創作・制作。
2015022422040000.jpg
グンタイアリ 展開図
中村楓さんに触発されて、22.5度系で昆虫を折ることに挑戦しました。ですが、まだ私には難しかったですね……。

ユリ

ユリ。2014/09創作・制作。
2014092515370000.jpg
展開図。3つ首の鶴と同じカド配置。
百合
6弁花なら正6角形から折ると折りやすいのですが、敢えてそうせずにやるとどうなるか挑戦してみました。
結果は上々。余った内部のカドをおしべとめしべに見立てることができました。

仕上げ方の解説。
百合 仕上げ
百合 仕上げ2
うまくやると、内部のカドをくるくるっとうまく綺麗にまとめることができます。

ダイミョウザザミ亜種

ゲーム『モンスターハンター』シリーズに登場する、ダイミョウザザミ亜種を折りました。
2014/11創作・制作。
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カニの背中とハサミの仕上げは気に入っていますが、甲羅の骨がダサい。

展開図。9鶴構造。
ダイミョウザザミ亜種blog用
1:2の長方形分子を入れることで、大きなハサミの形を作った。

うさぎ

うさぎ。2015/01創作・制作。
2015011213220000.jpg
顔がポイント。脚の仕上げはもっと詰めたい。
展開図なし。

任意角蛇腹での幅変換

従来、経験則的に45度蛇腹(ボックスプリーツ)で2倍、3倍、n倍幅変換構造が存在することが知られていました(理論的に存在することは、2014年11月頃に道場貴大さんが示しています)が、任意角蛇腹でも幅変換構造が存在します。
具体的には、下のような構造になります。
任意角蛇腹での幅変換
任意角の3,4倍幅変換
これらの構造がn倍の場合にもあることは、理論的にはまだ示していません。今後示す予定です。

蝶々

蝶々を折りました。
2015/02創作・制作。
2015022616360001.jpg
2015022616350001.jpg

展開図です。
蝶々 展開図
16等分蛇腹に整数比角度系の構造を入れて、変わった形のヒダを折りだして羽の模様に見立てました。
デザインの都合上、左右下の紙の隅に変わった角度の幅変換を入れています。

今年夏発表した、設計法の解説文書まとめ

今年夏発表した、設計法の解説文書を公開します。

整数比角度系設計法.pptx
コンベンションの講義で発表するために準備した、整数比角度系設計法の文書。

整数比角度系設計法(改).pptx
上の文書を発表前夜に徹夜で加筆修正したもの。新世代の方々にご指導いただき、完成させることができました。ご指導いただいた方々、大変ありがとうございました。
「整数比角度系の設計法を解説する」内容に絞っています。また、導入も少し丁寧にしました。
以前の記事でupした、折りネットの時の整数比角度系設計ことはじめのプレゼンも参考にすると、理解の助けになると思います(記事:折りサーネットの時のプレゼン)。

0から始める蛇腹設計.pptx
0から始める蛇腹設計 配布プリント.docx
折りネットで発表した、蛇腹設計のプレゼンと、その演習問題。

「骨格」から見た折り紙設計
国際大学折紙連盟で展示した、折り紙骨格論のpdf。今後改稿する予定。

なお、上で「整数比角度系」という用語を使っています。これはかれこれ1年以上使っている用語ですが、あまり適切ではない用語なので、今後別な言葉に置き換える可能性が大いにあります。その時には、混乱を生じさせてしまい申し訳ございません。
今思いつくのは、例えば「限定格子点系」とかでしょうか。

ヘックスプリーツでの神谷パターン

蛇腹系にピタゴラス三角形の分子を加えた構造である神谷パターンは、蛇腹創作の可能性を大幅に広げました。

一方、蛇腹系の類似としてヘックスプリーツというものがあります。これは、蛇腹系が正方形を敷き詰めたグリッドを基準とするのに対し、正三角形を敷き詰めたグリッドを基準とする構造です。

私はあまりヘックスプリーツをいじったことはないのですが、ないなりに主観をここで一応述べておきます。
ヘックスプリーツの特徴は、何といっても紙使用効率の良さでしょう。同じ大きさの円を平面上に敷き詰めるとき、最も密になるのは円が正三角形上の格子をなす時だからです。
ただ、ちょっと困ることがあります。それは、蛇腹系と違い、横分子・縦分子を考えるのがちょっと難しくなってしまうことがあることです。この辺りについては、現在調べているところですが、恐らくは基本となっている線が蛇腹系のように90度の線ではなく、120度の線であること、それにより骨格と横分子の対応があまりうまくないことが原因だと思われます。

さて、この記事の目的はヘックスプリーツにおける神谷パターンの類似構造の数学的裏付けの解説です。
ヘックスプリーツにおける神谷パターンの類似構造は、2014年8月ごろに発見し、Twitterで発表はしていたのですが、こちらの方で発表はしていませんでした。1年遅れ(!)になってしまいましたが、ここに書きたいと思います。

さて、ヘックスプリーツにおける神谷パターンの類似構造には、次のようなものがあります:

HP kamiya

神谷パターンから整数比角度系の構造を得るのと同じように、骨格を考えることで、次のような構造を色々考えることができます:

拡張ヘックスプリーツ

このような構造を考えられることの、数学的背景は何でしょうか?
蛇腹系の神谷パターンの場合は、ピタゴラス三角形がまさにそれでした。
ヘックスプリーツの神谷パターンの場合は、アイゼンシュタイン三角形が対応する概念になっています。

アイゼンシュタイン三角形とは、1つの角度が120度で、3辺の比が整数の三角形のことです。
これは、ピタゴラス三角形が、1つの角度が90度で、3辺の比が整数の三角形であることの類似です。

上に載せたヘックスプリーツの神谷パターンは、アイゼンシュタイン三角形を一値分子として畳んだものになっています。

では、なぜアイゼンシュタイン三角形がヘックスプリーツの神谷パターンになるのでしょうか?

この疑問に答える前に、蛇腹系の神谷パターンがピタゴラス三角形であることを考察しておきましょう。
ピタゴラス三角形のどの性質が折り紙の構造にマッチしているかというと、それは「内心が格子点にある」ということです。
折り紙で大事な性質に、「任意の三角形は内心の定理により一値分子として平坦折り可能である」というものがありました。
内心が格子点の上にあるために、ピタゴラス三角形を一値分子として折り畳んだ時に蛇腹との整合性が取れる、という訳なのです。

つまり、アイゼンシュタイン三角形がヘックスプリーツの神谷パターンになることの裏付けは、「アイゼンシュタイン三角形の内心がヘックスプリーツの格子点の上にあること」と考えられるわけです。
このことを示して、本稿を終わりにしたいと思います。

示す流れは次の通りです:
・アイゼンシュタイン三角形の3辺の比は、m,nを整数として、m^2-n^2, 2mn+n^2, m^2+mn+n^2とかける
・内心の座標はアイゼンシュタイン整数環(ヘックスプリーツの格子点)にある

1番目は、環論の知識を用いて証明したものを載せます。これは、この方がシンプルだと判断したためです。
次の2つの画像に証明を載せておきました。

s-スキャン_20150804
s-スキャン_20150804 (2)

それでは今回はこの辺りで。失礼します。

プロフィール

レオンハルト

Author:レオンハルト
創作折り紙や折り紙設計理論をやります。
数学や小説なども好きです。
なお、当ブログはリンクフリーです。リンクして頂いた場合、お礼を申し上げたいので連絡を頂けるとありがたいです。

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