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togetterまとめのまとめ

だいぶ前に編集したtogetterまとめのURLを置いておきます。
殆どメモ同然なので、読みにくかったり所々間違ってたりするかもしれませんが、ご容赦願います。

神谷パターンの用途まとめ

神谷パターンの用途について2014年7月頃にまとめたものです。今見ると相当不十分な内容だと思うのですが、とりあえず載せておきます。
この頃と今とでは私自身の観点が変わっているので、不十分に感じるのだと思います。


基本多角形(骨格)による折り紙設計(仮)

折り紙骨格論について2015年2月頃にまとめたものです。今後より洗練した形で発表していくつもりです。

それでは今回はこの辺りで。失礼します。
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整数比角度系の定義について

整数比角度系の定義について質問を頂くことが多いのですが、そのことについて記したいと思います。

なお、設計方法について解説する記事ではありません。しかも読むのに結構努力を要する内容・書き方だと思うので(ごめんなさい)、「なぜ整数比角度系はこんな定義なんだ?」という疑問を抱いているわけではない方には、読むのをあまりお勧めしません。ご注意ください。

まず、整数比角度系の定義から。

「用紙を何等分かしたグリッドに展開図上の折り線が乗っていて,展開図上の折り線の傾きが0,1,2,3,3/4,7」であることを「その展開図は整数比角度系である」と呼びます。

折り線の傾きも定義しろよ、と言われちゃいそうですが、そこはまたの機会に(笑)
折り線の傾きの定義も中々めんどくさいんです。

整数比角度系とよく似たものに、目黒さんにより定義された格子点系というものがあります。「用紙を何等分かしたグリッドに展開図上の折り線が乗っていて,展開図上の折り線の傾きが有理数」であることを「その展開図は格子点系である」と呼ぶ、という定義だと私は考えています。
集合の包含関係で言えば、「整数比角度系⊂格子点系」となると思います。

整数比角度系は3辺の比が3,4,5以外のピタゴラス三角形(5:12:13など)には対応していませんが、格子点系は対応しています。ここが異なる点です。

何故私が整数比角度系に対してこのような定義を採用したのか説明します。(尤も、私が整数比角度系という言葉を定義した当時は目黒さんの掲示板ログを読んだことがなかったので、格子点系はおろか横分子蛇腹法も知りませんでした)。

http://origami.gr.jp/~komatsu/etc/meguro-bbs-log/2007-02-18.html#2038 で目黒さんが「そんな部分群あるでしょうかね、、、?」と述べていますが、整数比角度系がほぼそれに当てはまります。
整数比角度系で使われる角度の集合は群にはなっていません(つまり、足し算について閉じていない。例えば、3arctan1/2 は整数比角度系の角度ではない)。ですが、折り紙としての都合上はとても良い性質を持っています。良い性質とは、予定調和性と、横分子を幅広く実現できる性質です。
目黒さんは、「角度系において折っていてぴたっと折線が重なること」を予定調和性と呼んでいるようです。感覚的な定義ではありますが、説明のためにこの予定調和性を用いたいと思います。
整数比角度系が予定調和性を持つことの根拠として、次の2つを挙げておきます:
1.頂点が蛇腹のグリッドに乗っている。
これは格子点系での予定調和性の根拠でもあります。そのため、格子点系の特殊な場合である整数比角度系においてもこれが根拠になります。
格子点系(整数比角度系)では、各頂点が蛇腹のグリッドに乗るように展開図を描画することも出来ます(普通行われるのはこのような方法です)が、ここで言いたいのはそれだけではありません。蛇腹のグリッドに沿ってxy座標を入れた時に、傾きが有理数の折り線の交点の座標は有理数となります。つまり、傾きが有理数の折り線の交点は、蛇腹の等分数を何倍かすることで、蛇腹のグリッド上に乗せることができます(交点の座標の分母をはらうことが、等分数を何倍かすることに対応しています)。これにより、例えば次の図のような整合性が取れた展開図を描画できます。
rational angle
2.基本多角形(骨格)を構成する折り線に対する鏡映変換について、骨格以外を構成する折り線は骨格以外を構成する折り線に写る。
つまり、傾き2,3の折り線に対する鏡映変換で、傾き0,1,3/4,7(逆数の傾きは省略)の折り線は傾き0,1,3/4,7の折り線に写るということです。これは例えば、神谷パターンからも見て取れることです。
実はこの性質こそが、先で述べた「整数比角度系で使われる角度の集合は群になっていないが、予定調和性を持つ」ことの大きな根拠となっているのです。ここで言う群は角度の加法により定義されていましたが、加法の特殊な場合として鏡映変換を考えたのがこの性質となっています。実際、傾きaの折り線に対しての鏡映変換を傾きbの折り線に施すと、その写り先は傾きa+(a-b)=2a-bとなり、加法の形で書くことができます。
そして、折り紙の展開図を描画する上では、この性質だけである程度は十分なのです。例えば一値分子を構成する折り線は、分子の外枠の折り線が、内部の折り線に対する鏡映変換により、分子の外枠の折り線に写ります。折り紙設計においてとても便利な道具である一値分子についてこの性質が成り立つというのはとても嬉しいことです。
実は、ここで「一値分子の内部の折り線」を突き詰めて考えたものが骨格(基本多角形)という概念なのです。それ故、「骨格を構成する折り線に対する鏡映変換について、骨格以外を構成する折り線は骨格以外を構成する折り線に写る」と、「一値分子の内部の折り線に対する鏡映変換について、一値分子の外枠の折り線は外枠の折り線に写る」という事実はパラレルに対応しています。但し骨格という概念は、「一値分子の内部の折り線」と完全に対応しているわけではないのですが……(例えば、長方形の一値分子には長辺に平行な内部の折り線が出てきますが、それは骨格ではありません)。
予定調和性の次に、横分子を幅広く実現できる性質について説明します。
例えば、5:12:13の神谷パターンを使った構造を描いてみて、横分子に領域分けしてみて下さい。そうすると多くの場合は、3:4:5の神谷パターン(整数比角度系)でも同じ横分子図を持つ構造が書けます。
また、横分子の重複領域で、整数比角度系で等高線(私は「45度線の偶奇性」という概念で似たような議論をしたこともあります)が合わずに解消できない場合は、3:4:5以外のピタゴラス三角形の神谷パターンでも解消できません。
この2つの事実から、「大抵の場合、格子点系の展開図と同じ効率の横分子図を持つ整数比角度系の展開図を描ける」ということが分かります。これが「横分子を幅広く実現できる性質」と呼んだものです。この性質があるからこそ、折り線の種類が沢山あってややこしい格子点系ではなく、整数比角度系を安心して使うことが出来るのです。
とは言え、私自身まだこの性質については分かっていないことが多く、ここでもきちんと説明することはできません。実際、上での説明は具体例や感覚的な説明が主になってしまっていますね……。
以上、予定調和性と、横分子を幅広く実現できる性質を整数比角度系は持っているため、私はわざわざこれに名前を付けて定義したのでした。

説明が長くなってしまった上に分かりづらい内容になってしまったかもしれません。数学の予備知識を前提とする記述もあったかもしれません。それについては申し訳ありません。
定義をするにあたっての私の意図が伝われば幸いです。それでは。

5月飾りのために兜を折りました。

2015042911580000.jpg

2015042911580001.jpg

展開図です。

兜 展開図

22.5度系で一値性を崩した感じになりました。立体化の工程が気に入っています。

本当は金ぴかのカッコいい紙で折ったバージョンもあるのですが、写真を撮ってないので上げられませんm(__)m
いつかどこかでお目にかかることになるかもしれません。

それでは。

お久しぶりです。
長らく更新をさぼってしまいました。申し訳ありません。
色々考えた結果、また少しずつ作品や記事をアップできたらと思います。

今回は「桜」です。

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展開図を上げます。

桜の花の展開図。正5角形から。
桜 花

桜の蕾の展開図。これも正5角形から。
桜 蕾

枝の展開図。
桜 木

花柄(緑の部分)の展開図。
桜 花柄

依頼を受けて作ったものです。
日本的な美を意識してデザインしました。
花・花柄は和紙、枝は創作専科ビオトープです。

それでは。



プロフィール

レオンハルト

Author:レオンハルト
創作折り紙や折り紙設計理論をやります。
数学や小説なども好きです。
なお、当ブログはリンクフリーです。リンクして頂いた場合、お礼を申し上げたいので連絡を頂けるとありがたいです。

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