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折り紙骨格論のpdf(改)

以前今年夏発表した、設計法の解説文書まとめで公開した折り紙骨格論のpdfを改稿しました。

・OneDrive版:「骨格」から見た折り紙設計
・Google Drive版:「骨格」から見た折り紙設計

主な修正点は、「はじめに」を加筆したことです。
置かれている状況がより分かりやすくなるように努力しました。ご覧頂けると幸いです。

「はじめに」の部分は、私がここ2年弱で整数比角度系から骨格という概念に至った経緯を述べています。
いい機会なので、ここにコピペしておきます。


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「骨格」による設計法のメリットを述べる.

「骨格」を考えると,展開図の一部のみを変更しやすくなる.
骨格は「特定の傾きの折り線で作られた閉曲線(多角形)」として定義される.この閉曲線を変形することで,展開図の全体を変えずに一部だけ変えることが考えやすくなる.この「閉曲線の変形」というテクニックは例えば,同じ面構成を持つ構造のうちでなるべく単純なものを得たい時や,カドの出方を変更したい時などに有用である.

「骨格」を考えることで,部分試作したいくつかの構造を接続しやすくなる.これは,「骨格」を考えることにより,展開図を得られる確実性が増すためである.

また,「骨格」による設計法を22.5度系に適用することで,横分子をコントロールしやすくなる.これは,「骨格」による設計法が横分子蛇腹法の一般化と捉えられることと関係がある.
この22.5度系に適用した「骨格」による設計法により,これまで知られていた一値分子による設計法の,思うようにカドを出しにくい(横分子をコントロールしにくい)という弱点をカバーすることができる.22.5度系での「骨格」による設計法の具体例は,筆者によるTwitter上の解説のまとめ「骨格」による、22.5度系での横分子設計法 を参照してほしい.

「骨格」は,与えられた角度系で平坦折り可能な展開図が(ある程度の数)存在することを説明する.これにより,従来は前川紙に見られる交点の縮重などにより説明されてきた,角度系で折り紙設計がしやすいという事実に対して,別なアプローチでの説明を与える.

「骨格」による設計法ができるような角度系が満たすべき条件を与えることにより、その条件を満たすような新しい角度系を発想できる。これにより筆者は、ヘックスプリーツでの神谷パターンなどを含む、整数比角度系のヘックスプリーツバージョンの角度系を発見した。



「骨格」を考えるに至ったいきさつを述べる.

2013年頃から,今井幸太氏により神谷パターンの変形構造(神谷パターンの切断(下図)など)が発見された.
kamiyacut.png
この構造はそれ以前に知られていた神谷パターンよりも自由度の高いものであり,蛇腹系折り紙に新たな可能性を与えた.この構造には,展開図上の折り線の傾きが0,1,2,3,3/4であるという特徴があり,それ以前に知られていた蛇腹系,22.5度系,15度系などとは異なるものである.今井幸太氏により発見された構造は,それ以前はあくまで蛇腹系の1つの技術という認識が強かった神谷パターンを超えた自由度があることから,「新たな角度系」であるという印象を筆者は抱き,これを「整数比角度系」と呼ぶことにした.

整数比角度系の構造を得る素朴な方法として、1頂点から放射状に折り線が伸びる平坦折り可能なパターンを組み合わせて描くというものがある。これは言わば最も原始的な方法である。
より便利な方法として、まず傾きが2,3の折り線を描き,その次にその他の傾きの折り線を描くという順序で展開図を描く方法を筆者は発見した.傾き2,3の折り線に着目する方法は,整数比角度系の展開図の横分子図を考えると自然に現れる.蛇腹系の展開図の横分子図は,45度の折り線のみを書くことで略記できる(下図).
bpcp.png
bpryakki.png
同様に,神谷パターンや,上で述べた神谷パターンの切断の横分子図は,45度の折り線と傾き2,3の折り線で略記することができる(下図).このことにより傾き2,3の折り線に着目することが有効そうだというアイディアが湧く.
kamiyacutryakki.png

上で述べた構造では,傾き2,3の折り線は閉曲線になっている.実はこれは,任意の平坦折り可能な整数比角度系の展開図で成り立つ.この事実から,まず傾き2,3の折り線で構成された閉曲線をいくつか描き,それに傾き0,1,3/4の折り線を描き加えるという方法ですべての整数比角度系の展開図が得られることが分かる.これにより,「特に閉曲線を描くことにしても漏れる展開図はない」ことが分かるので,作業の効率が上がる.

以上で述べた,整数比角度系の展開図において傾き2,3の折り線が満たす「略記横分子図に現れること」と「閉曲線になること」は,蛇腹系の展開図において45度線が満たす性質でもある.このことから,蛇腹系の場合で整数比角度系の類似の設計法を考えると,横分子蛇腹法がおおよそそのようなものであることが分かる.実際,横分子蛇腹法(の一部)は次の手順を行うものだと考えることができる:

1.横分子と,それに対応する45度線を展開図に描く(ここで,45度線が略記横分子図に現れることを用いている).
2.横分子が狙ったものになるように気を付けながら,45度線をつなぐ(ここで,45度線が閉曲線になることを用いている).

なお,この観点から横分子蛇腹法を解説したプレゼンテーションを筆者は作成した(「0から始める蛇腹設計」、今年夏発表した、設計法の解説文書まとめからプレゼンと演習問題をダウンロードできる).

以上のことから,この「傾き2,3の折り線(あるいは45度線)に着目する」方法を、整数比角度系と蛇腹系以外の角度系でもできないか,という疑問が湧く.そのような方法ができる角度系は,特定の傾きの折り線が「略記横分子図に現れること」と「閉曲線になること」を満たしていれば良い.本稿では,この2つの条件を満たすのに,展開図に現れる角度全体の集合が満たすべき代数的な条件を与えることを目標にした.これは,「閉曲線になること」について条件を与えることは達成できた(180/n度系,蛇腹系,整数比角度系は本稿で与えた条件を満たすため、これらの角度系で「骨格」による設計法をある程度適用できることが分かる)が,「略記横分子図に現れること」についてはまだ達成できておらず,今後の課題である.

ここで満たすべき条件を代数的なものとした理由を述べる.前川淳氏に端を発する従来の「$180/n$度系」で折り紙ができる理由の1つに,展開図に現れる角度が群をなすという事実が知られていた(小松英夫氏により編集された、目黒俊幸氏の「ようこそ折り紙のホームページへ 掲示板過去ログまとめ」の「角度系」の項http://origami.gr.jp/~komatsu/etc/meguro-bbs-log/2007-02-18.html).しかし,整数比角度系の展開図に現れる角度は群にならない.そのため整数比角度系は,群よりも弱い条件を満たす場合でも折り紙ができる例になっている.群の公理が代数的な条件であることから,この「整数比角度系が満たす群より弱い条件」も代数的な条件として書き下すのが考えやすいと考えた.
この「整数比角度系が満たす群より弱い条件」を,先ほど述べた「特定の傾きの折り線が「略記横分子図に現れること」と「閉曲線になること」を満たす条件」だと思うことにして,後者の条件も代数的に書き下すことにしたのである.

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「骨格」による、22.5度系での横分子設計法

オオクワガタの創作工程を解説したツイートを、togetterにまとめました。

「骨格」による、22.5度系での横分子設計法

「骨格」による設計法の実例を解説する足掛かりになったかと思います。
22.5度系での幅変換を埋め込むあたりがお気に入り。

任意角蛇腹での幅変換

従来、経験則的に45度蛇腹(ボックスプリーツ)で2倍、3倍、n倍幅変換構造が存在することが知られていました(理論的に存在することは、2014年11月頃に道場貴大さんが示しています)が、任意角蛇腹でも幅変換構造が存在します。
具体的には、下のような構造になります。
任意角蛇腹での幅変換
任意角の3,4倍幅変換
これらの構造がn倍の場合にもあることは、理論的にはまだ示していません。今後示す予定です。

今年夏発表した、設計法の解説文書まとめ

今年夏発表した、設計法の解説文書を公開します。

整数比角度系設計法.pptx
コンベンションの講義で発表するために準備した、整数比角度系設計法の文書。

整数比角度系設計法(改).pptx
上の文書を発表前夜に徹夜で加筆修正したもの。新世代の方々にご指導いただき、完成させることができました。ご指導いただいた方々、大変ありがとうございました。
「整数比角度系の設計法を解説する」内容に絞っています。また、導入も少し丁寧にしました。
以前の記事でupした、折りネットの時の整数比角度系設計ことはじめのプレゼンも参考にすると、理解の助けになると思います(記事:折りサーネットの時のプレゼン)。

0から始める蛇腹設計.pptx
0から始める蛇腹設計 配布プリント.docx
折りネットで発表した、蛇腹設計のプレゼンと、その演習問題。

「骨格」から見た折り紙設計
国際大学折紙連盟で展示した、折り紙骨格論のpdf。今後改稿する予定。

なお、上で「整数比角度系」という用語を使っています。これはかれこれ1年以上使っている用語ですが、あまり適切ではない用語なので、今後別な言葉に置き換える可能性が大いにあります。その時には、混乱を生じさせてしまい申し訳ございません。
今思いつくのは、例えば「限定格子点系」とかでしょうか。

ヘックスプリーツでの神谷パターン

蛇腹系にピタゴラス三角形の分子を加えた構造である神谷パターンは、蛇腹創作の可能性を大幅に広げました。

一方、蛇腹系の類似としてヘックスプリーツというものがあります。これは、蛇腹系が正方形を敷き詰めたグリッドを基準とするのに対し、正三角形を敷き詰めたグリッドを基準とする構造です。

私はあまりヘックスプリーツをいじったことはないのですが、ないなりに主観をここで一応述べておきます。
ヘックスプリーツの特徴は、何といっても紙使用効率の良さでしょう。同じ大きさの円を平面上に敷き詰めるとき、最も密になるのは円が正三角形上の格子をなす時だからです。
ただ、ちょっと困ることがあります。それは、蛇腹系と違い、横分子・縦分子を考えるのがちょっと難しくなってしまうことがあることです。この辺りについては、現在調べているところですが、恐らくは基本となっている線が蛇腹系のように90度の線ではなく、120度の線であること、それにより骨格と横分子の対応があまりうまくないことが原因だと思われます。

さて、この記事の目的はヘックスプリーツにおける神谷パターンの類似構造の数学的裏付けの解説です。
ヘックスプリーツにおける神谷パターンの類似構造は、2014年8月ごろに発見し、Twitterで発表はしていたのですが、こちらの方で発表はしていませんでした。1年遅れ(!)になってしまいましたが、ここに書きたいと思います。

さて、ヘックスプリーツにおける神谷パターンの類似構造には、次のようなものがあります:

HP kamiya

神谷パターンから整数比角度系の構造を得るのと同じように、骨格を考えることで、次のような構造を色々考えることができます:

拡張ヘックスプリーツ

このような構造を考えられることの、数学的背景は何でしょうか?
蛇腹系の神谷パターンの場合は、ピタゴラス三角形がまさにそれでした。
ヘックスプリーツの神谷パターンの場合は、アイゼンシュタイン三角形が対応する概念になっています。

アイゼンシュタイン三角形とは、1つの角度が120度で、3辺の比が整数の三角形のことです。
これは、ピタゴラス三角形が、1つの角度が90度で、3辺の比が整数の三角形であることの類似です。

上に載せたヘックスプリーツの神谷パターンは、アイゼンシュタイン三角形を一値分子として畳んだものになっています。

では、なぜアイゼンシュタイン三角形がヘックスプリーツの神谷パターンになるのでしょうか?

この疑問に答える前に、蛇腹系の神谷パターンがピタゴラス三角形であることを考察しておきましょう。
ピタゴラス三角形のどの性質が折り紙の構造にマッチしているかというと、それは「内心が格子点にある」ということです。
折り紙で大事な性質に、「任意の三角形は内心の定理により一値分子として平坦折り可能である」というものがありました。
内心が格子点の上にあるために、ピタゴラス三角形を一値分子として折り畳んだ時に蛇腹との整合性が取れる、という訳なのです。

つまり、アイゼンシュタイン三角形がヘックスプリーツの神谷パターンになることの裏付けは、「アイゼンシュタイン三角形の内心がヘックスプリーツの格子点の上にあること」と考えられるわけです。
このことを示して、本稿を終わりにしたいと思います。

示す流れは次の通りです:
・アイゼンシュタイン三角形の3辺の比は、m,nを整数として、m^2-n^2, 2mn+n^2, m^2+mn+n^2とかける
・内心の座標はアイゼンシュタイン整数環(ヘックスプリーツの格子点)にある

1番目は、環論の知識を用いて証明したものを載せます。これは、この方がシンプルだと判断したためです。
次の2つの画像に証明を載せておきました。

s-スキャン_20150804
s-スキャン_20150804 (2)

それでは今回はこの辺りで。失礼します。

プロフィール

レオンハルト

Author:レオンハルト
創作折り紙や折り紙設計理論をやります。
数学や小説なども好きです。
なお、当ブログはリンクフリーです。リンクして頂いた場合、お礼を申し上げたいので連絡を頂けるとありがたいです。

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